Некоторые точные неравенства для второго модуля непрерывности периодических функций и функций, продолженных с отрезка

Пусть $C$ – пространство $2\pi$-периодических непрерывных вещественнозначных функций с равномерной нормой; $H_n$ – множество тригонометрических полиномов порядка не выше $n$; $\omega_2(f)$ – второй модуль непрерывности функции $f\in C$; $T_n(f)$ – полином наилучшего приближения порядка $n$ функции $f\in C$; $A_0(f)=\frac1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f$, $U\colon C\to C$, $C(U,h)=\operatorname{sup}_{f\in C}\frac{\|U(f)-f\|}{\omega_2(f,h)}$.
В работе при достаточно больших $h$ найдены величины $C(U,h)$ для некоторых положительных операторов $U$, например, $C(A_0,h)$ и $C(T_0,h)$. При $n=1,2,3$ найдены величины $C(U,\frac\pi{n+1})$ для ряда линейных положительных операторов $U\colon C\to H_n$. Установлена связь между $C(T_0,h)$ и точными постоянными в неравенстве $\omega_2(f,h_1)\le C(h_1,h)\omega_2(f,h)$ при некоторых $h$ и $h_1$, таких что $0<h<h_1\le\pi$. Для полунормы $P$, инвариантной относительно сдвига и мажорируемой равномерной нормой, аналоги величин $C(U,h)$ оценены сверху.
Исследован вопрос о продолжении функции, непрерывной на отрезке, с сохранением второго модуля непрерывности. Доказано соотношение
$$ \operatorname{sup}_{f\in C(I)}\operatorname{inf}_{\substack{g\colon X\to\mathbb R,\\f=g|_I}}\frac{\omega_2(g,X,h)}{\omega_2(f,I,h)}=\frac32. $$
Здесь промежуток $X$ строго содержит $I=[0,1]$, $\omega_2(f,X,h)$ – второй модуль непрерывности функции $f$ на промежутке $X$ с шагом $h$. Библ. – 5 назв.