Quantization in discrete dynamical systems

Мы рассматриваем класс дискретных динамических моделей допускающих квантовое описание. Наш подход к квантованию сводится к введению калибровочной связности со значениями в $n$-мерном унитарном представлении некоторой группы (внутренних симметрий) $\Gamma$. При этом элементы связности интерпретируются как амплитуды квантовых переходов. Стандартное квантование является частным случаем этой конструкции: фейнмановскую амплитуду вдоль пути $\mathrm e^{i\int Ldt}$ можно интерпретировать как параллельный перенос со значениями в (1-мерном) фундаментальном представлении группы $\Gamma=\mathrm U(1)$. Если взять конечную группу в качестве квантующей группы $\Gamma$, все вычисления – в отличие от стандартного квантования – остаются в рамках конструктивной дискретной математики не выходя за пределы кольца алгебраических целых. С другой стороны, стандартное квантование можно аппроксимировать с помощью 1-мерного представления достаточно большой конечной группы. Рассматриваемые в данной статье модели определены на регулярных графах с транзитивными группами автоморфизмов (пространственные симметрии). Вершины графов принимают значения в конечных множествах локальных состояний. Эволюция моделей происходит в дискретном времени. Мы предполагаем, что квантовые переходы за один временной шаг допускаются только в пределах окрестностей вершин графа. В качестве иллюстрации мы приводим простую модель. Существенная часть работы была выполнена с помощью развиваемой нами программы на языке Си, основанной на алгоритмах компьютерной алгебры и вычислительной теории групп. Библ. – 4 назв.