О мере центральной симметрии полей выпуклых фигур и трёхмерных выпуклых тел

Пусть $\gamma^3_2\colon E_2(\mathbb R^3)\to G_2(\mathbb R^3)$ – тавтологическое расслоение над многообразием Грассмана 2-плоскостей в $\mathbb R^3$, где слоем над плоскостью является она же, рассматриваемая как двумерное подпространство в $\mathbb R^3$. Мы говорим, что в расслоении $\gamma^3_2$ задано поле выпуклых фигур, если в каждом слое выделена выпуклая фигура, непрерывно зависящая от этого слоя.
Теорема 1. Во всяком поле выпуклых фигур в расслоении $\gamma^3_2$ найдётся фигура $K$, содержащая центрально-симметричную выпуклую фигуру площади $\ge(4+16\sqrt2)S(K)/31>0,858\,S(K)$. (Через $S(K)$ обозначается площадь фигуры $K$.)
Теорема 2. Во всяком поле выпуклых фигур в расслоении $\gamma^3_2$ найдётся фигура $K$, содержащаяся в центрально-симметричной выпуклой фигуре площади $\le(12\sqrt2-8)S(K)/7<1,282\,S(K)$.
Теорема 3. Всякое трёхмерное выпуклое тело $K$ содержится в цилиндре с выпуклым центрально-симметричным основанием и объёмом $\le(36\sqrt2-24)V(K)/7<3,845\,V(K)$. (Через $V(K)$ обозначается объем тела $K$.)
Библ. – 5 назв.