Оценки на количество периодических траекторий обобщенных бильярдов

Изучение замкнутых бильярдных траекторий – классическая задача, впервые поставленная Джорджем Биркгофом. Бильярд есть движение частицы внутри некоторой области при отсутствии силового поля, когда частица двигается по геодезической, отражаясь от границы по закону “угол падения равен углу отражения”.
Биркгоф доказал нижнюю оценку на количество замкнутых бильярдных траекторий данной длины в любой плоской области. В настоящей работе формулируется общее определение замкнутой бильярдной траектории для случая, когда шар отражается от произвольного подмногообразия евклидова пространства. Кроме того, показано, как применить в этом общем случае неравенства Морса с использованием естественной симметрии (замкнутую ломаную можно проходить начиная с любой вершины и двигаясь в любом из двух направлений). Наконец, доказана следующая оценка.
Пусть $M$ – гладкое замкнутое $m$-мерное подмногообразие евклидова пространства, $p>2$ – простое число. Тогда существует не менее
$$ \frac{(B-1)((B-1)^{p-1}-1)}{2p}+\frac{mB}{2}(p-1) $$
замкнутых $p$-звенных траекторий бильярда с отражением от многообразия $M$. Библ. – 7 назв.