Адаптивное обнаружение функций большого числа переменных

Основная трудность в`статистике функций многих переменных – так называемое “проклятие размерности”: порядок точности в задаче оценивания и критических радиусов в задаче обнаружения становятся весьма плохими при возрастании количества переменных. Эта трудность проявляется для традиционных функциональных классов, таких как шары в пространствах Соболева или Гельдера.
В работе [9] были рассмотрены классы функций бесконечного числа переменных, впервые введенные Слоаном и Вожняковским в [14]. Это шары $\mathcal F_{\sigma,s}$ в пространстве взвешенных тензорных произведений, которые определяются параметром гладкости $\sigma>0$ и параметром $s>0$, характеризующим значимость переменных. Из результатов [9] следует, что для модели гауссовского белого шума логарифмическая асимптотика критических радиусов в задачах обнаружения для классов $\mathcal F_{\sigma,s}$ аналогична логарифмической асимптотике для функций одной переменной из шара Соболева с параметром гладкости $\sigma^*=\min(s,\sigma)$, что снимает “проклятие размерности”. Однако тесты, построенные в [9], зависят от параметров $(\sigma,s)$, которые обычно неизвестны.
В этой работе предлагаются тесты, которые не зависят от параметров $(\sigma,s)$ и обеспечивают ту же самую логарифмическую асимптотику критических радиусов равномерно по любому компактному множеству параметров $(\sigma,s)$. Также приводится независимое простое доказательство логарифмической асимптотики критических радиусов для шаров $\mathcal F_{\sigma,s}$. Библ. – 16 назв.