О cжатиях с компактными дефектами

В работе [8] был поставлен следующий вопрос. Пусть $T$ – сжатие класса $C_{10}$, такое что оператор $I-T^\ast T$ компактен и спектр сжатия $T$ – весь единичный круг. Может ли изометрическая аcимптота сжатия $T$ быть редуктивным унитарным оператором? В настоящей статье дается положительный ответ на этот вопрос. Строится два вида примеров. Один вид примеров – это операторы умножения на независимую переменную в замыкании аналитических многочленов в $L^2(\nu)$, где $\nu$ – подходящая положительная конечная борелевская мера в замкнутом единичном круге. Второй вид примеров основан на теореме 6.2 из [5]. Мы получаем сжатие $T$, удовлетворяющее всем нужным условиям и такое, что оператор $I-T^\ast T$ принадлежит классам Шаттена–фон Нейманна $\mathfrak S_p$ для всех $p>1$. Также приводится пример сжатия $T$, такого что оператор $I-T^\ast T$ принадлежит классам $\mathfrak S_p$ для всех $p>1$, сжатие $T$ квазиподобно унитарному оператору и имеет “больше” инвариантных подпространств, чем этот унитарный оператор. Также, следуя [2], показывается, что если подмножество единичной окружности является спектром сжатия, квазиподобного абсолютно непрерывному унитарному оператору, то это сжатие $T$ может быть выбрано так, чтобы оператор $I-T^\ast T$ был компактным. Библ. – 29 назв.