Множества нулей функций из $\Lambda_\omega$

Доказан следующий результат.
Теорема. {\it Пусть $S$ – внутренняя функция, $|S|\le1$, $\operatorname{spec}S\subset E$, множество $E$ удовлетворяет условиям
$$ \sum_{\alpha\in\mathbb D\cap E}(1-|\alpha|)<\infty, \quad\int_{\partial\mathbb D}\log\omega(\operatorname{dist}(z,E))|dz|>-\infty, $$
где $\omega$ – произвольный модуль непрерывности. Тогда существует функция $f\in\Lambda_\omega$, такая что $f^{-1}(0)\in E$ и $f|_S\in\Lambda_\omega$}. Библ. – 8 назв.