К задаче о максимуме произведения конформных радиусов неналегающих областей

Пусть $c_k$, $k=1,\dots,4$, – произвольные различные точки $\mathbb C$. Пусть $\mathscr D$ – семейство всех систем односвязных областей на $\overline{\mathbb C}$, $c_k\in D_k$ $D_k\cap D_\ell=\varnothing$, $k,\ell=1,\dots,4$, $k\ne\ell$. Через $R(D_k,c_k)$ обозначаем конформный радиус области $D_k$ относительно точки $c_k$. Показывается, что в семействе $\mathscr D$ справедливо точное неравенство \[ \prod_{k=1}^4R(D_k,c_k)\{\prod_{1\le k<\ell\le4}|c_k-c_\ell|\}^ {-2/3}\le4^{-10/3}|1-a^2|^{4/3}\operatorname{cap}^{-4}E(-1,1,a),\tag{1} \] где $a=(\lambda+1)/(\lambda-1)$, $\lambda$ – ангармоническое отношение точек $c_1,c_2,c_3,c_4$:
$$\lambda=\frac{c_3-c_1}{c_3-c_2}:\frac{c_4-c_1}{c_4-c_2},$$
$E(-1,1,a)$ – континуум наименьшей емкости, содержащий точки $-1,1,a$. Явное выражение для $\operatorname{cap}E(-1,1,a)$ в терминах эллиптических функций Якоби получено автором ранее (РЖМат, 1968, 6Б188). На основании известных свойств континуумов наименьшей емкости далее показывается, что наибольшее значение правой части (1) достигается при $a=\pm i\sqrt3$ и равно $4^{-8/3}\cdot3^2$. Указываются все конфигурации, для которых в полученных оценках реализуются знаки равенства. Библ. – 17 назв.