Спектральная мера оператора перехода и гармонические функции, связанные со случайными блужданиями на дискретных группах

Рассматривается случайное блуждание на счетной группе $G$, заданное мерой $\mu$. Для аменабельных групп дается оценка спектральной меры оператора перехода случайного блуждания через рост множеств Фелнера на группе, что позволяет оценить снизу вероятность возвращения в единицу группе за $n$ шагов. Приводится пример этой оценки для групп $G_k=\mathbb Z^k\times\mathbb Z_2(\mathbb Z^k)$. Во второй части работы выводится оценка снизу энтропии $h(G,\mu)$ через колебание нетривиальной ограниченной $\mu$-гармонической функции на $G$.