О достаточных статистиках для семейств распределений с переменным носителем плотности

Пусть $X_i$, $i=\overline{1,n}$ независимые случайные векторы с плотностью $f(x,\Theta)$, ($\Theta\in R^d$). Носитель $f(x,\Theta)$ зависит от $\Theta$. Положим $R_n\{\Theta|\prod_{i=1}^nf(x_i,\Theta)\ne0\}$. Тогда $(T,R_n)$ достаточная статистика, если $\prod_{i=1}^nf(x_i,\Theta)=g_\Theta(T)h(x_1,\dots,x_n)\cdot\chi_{R_n}(\Theta)$, где $g_\Theta(T)$и $h$ измеримые функции.
Случайные векторы $x_{j_1},\dots,x_{j_{\alpha_n}}$ и $T$ образуют вместе достаточную статистику, если $R_n\{\Theta|\prod_{i=1}^{\alpha_n}f(x_{ji},\Theta)\ne0\}$. Назовем $x_{j_1},\dots,x_{j_{\alpha_n}}$ сингулярной достаточной статистикой. В работе исследуется поведение сингулярной достаточной статистики $x_{j_1},\dots,x_{j_{\alpha_n}}$ с минимальным числом $\alpha_n$. При широких предположениях показано, что $\alpha_n$ ограничено по вероятности при $n\to\infty$ (Теор. 3.1). Изучается предельное распределение $\alpha_n$ и $x_{j_1},\dots,x_{j_{\alpha_n}}$ (Теор. 3.4, 3.5). Некоторые слабые аналоги теоремы Дынкина доказаны для статистики $T$.