Об узких зонах интегральной нормальной сходимости

Пусть $X_{n1},\dots,X_{nk_n}$ – последовательность серий независимых в каждой серии случайных величин с функциями распределения $F_{n1}(x),\dots,F_{nk_n}(x)$ ($n=1,2,\dots$). Пусть
$$ \int_{-\infty}^\infty x\,dF_{ni}(x)=0,\quad \int_{-\infty}^\infty x^2\,dF_{ni}(x)=\sigma^2_{ni}<\infty $$
для $1\le i\le k_n$ и всех $n$. Обозначим
$$ \Phi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-t^2/2}\,dt, \quad B_n^2=\sum_{i=1}^{k_n}\sigma_{ni}^2,\quad\log_mz =\underbrace{\log\log\dots\log}_{m\text{ раз}}z,\quad m\ge1, $$
и пусть $c>0$ – некоторая постоянная.
В работе указаны условия, достаточные для выполнения соотношений
\begin{gather} P\biggl(\frac{X_{n1}+\dots+X_{nk_n}}{B_n}\ge x\biggr)=(1-\Phi(x))(1+0(1)), \quad n\to\infty,\notag\\ P\biggl(\frac{X_{n1}+\dots+X_{nk_n}}{B_n}<-x\biggr)=\Phi(x)(1+0(1)), \quad n\to\infty, \notag \end{gather}
равномерно относительно $x$ в области $0\le x\le c\sqrt{\log_mB_n^2}$. Библ. – 5 назв.