Отсутствие локально безусловной структуры в некоторых пространствах операторов

Теорема 1. {\it Пусть банаховы пространства $X_n$, $Y_m$ имеют монотонные безусловные базисы $\{x_i\}_{i=1}^n$, $\{y_j\}_{j=1}^m$ соответственно, $[\mathfrak A,\alpha]$ – банаховый операторный идеал, $S\in L(X_n,Y_m)$, $y'_j(Sx_i)=\pm1$. Тогда
$$ \chi(\mathfrak A(X_n,Y_m))\ge\frac{mn}{9\alpha(S)\|X_n\|\cdot\|Y_m^*\|}, $$
где $\|X_n\|=\|x_1+\dots+x_n\|$, $\|Y_m^*\|=\|y'_1+\dots+y'_m\|$, $\chi(E)$ обозначает локально безусловную постоянную пространства $E$. При помощи этой теоремы устанавливается отсутствие локально безусловной структуры в некоторых пространствах операторов (теорема 2 и предложения 1–7). В частности, пространства $\prod_p(\ell_n,\ell_v)$, $N_p(\ell_u,\ell_v)$ не имеют локально безусловной структуры если $\max(1/2,1/p)<1/u'$ или $\max(1/2,1/p')<1/v'$, $1<u,v,p<\infty$}.