Об одном классе функций ограниченной вариации на прямой, определяемых своими значениями на полупрямой

Пусть $\mathscr L$ – класс всех функций аналитических в полуплоскости $\{\operatorname{Im}t>0\}$ непрерывных в замкнутой полуплоскости $\{\operatorname{Im}t\ge0\}$ и являющихся преобразованиями Фурье–Лапласа $\hat\mu$ конечных комплексных мер $\mu$, $\operatorname{supp}\mu\subset\mathbb R$, $-\infty\in\operatorname{supp}\mu$ таких, что $\hat\mu(t)\ne0$, если $\{\operatorname{Im}t>0\}$. Пусть $\mathscr L_1$ – линейная оболочка множества $\mathscr L$. Показано (теорема 1), что $H_i\in\mathscr L$, $i=1,2$, $H_1(x)=H_2(x)$, $x<0\Longrightarrow H_1\equiv H_2$. Эта теорема единственности выводится из следующего обобщения теоремы Шоттки–Ландау (теорема 2). Пусть $g_1,\dots,g_p$ – аналитические в единичном круге $\{|z|<1\}$ функции, не обращающиеся в нуль и линейно независимые над полем $\mathbb C$. Тогда
$$ |g_k(z)|\le\exp(A(1-|z|)^{-1})(|z|<1,k=1,\dots,p,A\text{ не зависит от }z) $$
при условии, что $\sum_{k=1}^pg_k$ – ограниченная в круге $\{|z|<1\}$ функция.