Восстановление функций с заданным модулем непрерывности

В статье рассматривается класс $H^\omega([a,b])$ функций на отрезке $[a,b]$, модуль непрерывности которых мажорируется вогнутым модулем непрерывности $\omega$. Исследуется вопрос о том, насколько точно в смысле нормы пространства $C([a,b])$ можно восстановить функцию указанного класса, если известно значение ее интеграла по некоторому заряду $mu$ на отрезке $[a,b]$. Показано, что точность восстановления оценивается снизу числом $\|\Phi(\mu)\_C/|\mu|([a,b])$, a сверху – числом $\|\Phi(|\mu|)\_C/|\mu|([a,b])$, где $\Phi(\mu)$ – функция, называемая потенциалом заряда $\mu$ и определенная при $x\in[a,b]$ формулой $x\mapsto\int\omega(|x-t|)\,d\mu(t)$. Точность восстановления оказывается наивысшей, если потенциал $\Phi(\mu)$ постоянен на отрезке $[a,b]$. Доказано существование вероятностной меры $\mu$ с постоянным потенциалом и единственность с точностью до множителя заряда с постоянным потенциалом. Условие постоянства потенциала не является, вообще говоря, необходимым для того, чтобы заряд обеспечивал наилучшие возможности для восстановления функций, однако оно является необходимым при некоторых дополнительных предположениях типа строгой вогнутости модуля непрерывности.