Количественный аспект теорем об исправлении

Пусть $U$ – пространство таких функций $g$ окружности $\mathbb T$, что оба ряда $\sum_{\ge0}\hat{g}(j)z^j$, $\sum_{j<0}\hat{g}(j)z^j$ равномерно сходятся, снабженное нормой $\|g\|_U=\sup\{|\sum_{m\le j<n}\hat{g}(j)\xi^j|:m,n\in\mathbb Z,n\in\mathbb Z,|\xi|=1\}$. Установлено следущее количественное уточнение классической теоремы Д. Е. Меньшова: если $f\in L^\infty(\mathbb T)$ и $0<\varepsilon<1$, то найдется такая функция $g$ из $U$, что $\operatorname{mes}\{f\ne g\}\le C_\varepsilon$ и $\|g\|_U\le C(\log1/{\varepsilon})\|f\|_\infty$ ($C$ – абсолютная постоянная). Показано, что этот результат неулучшаем и приведена общая схема получения подобных теорем для других (отличных от $U$) пространств, подчиненных некоторым просто формулируемым условиям.