Принцип неопределенности для операторов, перестановочных со сдвигом. I

Пусть $X$ – некоторый класс обобщенных функций (в $\mathbb R$), $K$ – обобщенная функция, $E\subset\mathbb R$. Говорят, что $E$ есть $(K,X)$-множество, если из того, что $f\in X$, $f|E=(k\ast f)|E$ следует, что $f=0$. В начале статьи разбираются примеры “ядер” $K$, для которых любой непустой интервал есть $(K,L^2)$-множество (среди них ядра М. Рисса). Обсуждается связь с задачами аппроксимации линейными комбинациями некоторых сдвигов ядра и с задачей Коши для оператора Лапласа. Основные результаты относятся к ядрам $K$, у которых преобразование Фурье (символ) $\hat{K}$ “полурационально”. Это означает, что $\hat{K}$ на некотором луче $(c,+\infty)$ совпадает с рациональной функцией $r$, причем $\operatorname{mes}\{\xi\in(-\infty,b]:\hat{K}(\xi)=r(\xi)\}=0$ при некотором $b\le C$. Доказано, в частности, что любое карлесоново множество $E$ положительной меры есть $(K,X)$-множество, если $K$ имеет полурациональный символ, а $X$ – множество естественного определения оператора $f\mapsto K\ast f$ как оператора из $L^2$ в $L^2$ (Карлесоновым называется компактное множество вещественных чисел, семейство всех ограниченных дополнительных интервалов которого удовлетворяет условию $\sum|\ell|\log|\ell|>-\infty$). Этот результат приводит к теоремам единственности для интегральных операторов, близких к преобразованию Гильберта.