Инвариантные подпространства и рациональная аппроксимация

Пусть $T$ – линейный оператор в банаховом пространстве $X$ с полным множеством собственных и корневых векторов. Каждая из формул (1)–(3) определяет “емкость” $\operatorname{cap}k$ целочисленной функции (дивизора) $k$, емкость $\operatorname{cap}E\overset{\text{def}}=\operatorname{cap}k$ подпространства $E\overset{\text{def}}=E^k$, порожденного корневыми подпространствами $\operatorname{Ker}(T-\lambda I)^s$, $0\le s<k(\lambda)$, $\lambda\in\mathbb C$, или емкость $\operatorname{cap}x\overset{\text{def}}=\operatorname{cap}k$ вектора $x$ такого, что $\operatorname{span}(T^nx:n\ge0)=E^k$. Доказано, что
$$ \varliminf E^{k_n}\overset{\text{def}}= \{x:\lim\operatorname{dist}(x,E_{k_n})=0\}\neq X\Longleftrightarrow \varliminf\operatorname{cap}E^{k_n}<\infty $$
и что $x$ не является циклическим вектором $(V(T^nx:n\ge0)\ne x)$, если $x=\lim_nX_n$ $\sup_n\operatorname{cap}x_n<\infty$. Детально рассматривается важный частный случай $T=Z^*$, $Z^*f\overset{\text{def}}=\frac{f-f(0)}z$. Тогда корневые векторы является рациональными функциями. Получены двусторонние оценки емкости в пространствах Харди $H^p$, $1\le p\le\infty$ и в алгебрах $C_A^{(n)}\overset{\text{def}}=\{f:f^{(n)}\in C_A\}$ ($C_A$ – диск-алгебра). Из этих результатов вытекают известные теоремы Т. Тумаркина, Р. Дугласа–Г. Шапиро–А. Шилдса и Г. Хилдена–Л. Валлена.