Одновременная аппроксимация полиномами на окружности и внутри круга

В работе, исследуется вопрос одновременной аппроксимации полиномами в пространстве $L^2(h)\oplus L^2(\mu_{\mathbb D})$, где $h$ – вес на окружности $\mathbb T$, $\mu_{\mathbb D}$ – мера в круге $\mathbb D$. Полному решению поддается случай меры $\mu$ лежащей на радиусе $[0,1]$. А именно: пусть $d\mu_{\mathbb D}=\nu(x)\,dx$ и функции $\nu$ и $h$ удовлетворяют некоторым простым условиям регулярности, тогда имеет место: а) если $\int^1(1-x)\log\nu(x)\,dx>-\infty$ то полиномы $P_A$ плотны в пространстве $L^2(h)\oplus L^2(\nu)$ тогда и только тогда, когда $\int_0|\Theta|\log h(\Theta)\,d\Theta=-\infty$; б) если $\int^1(1-x)\log\nu(x)\,dx=-\infty$, то полиномы $P_A$ плотны в этом пространстве тогда и только тогда, когда $\int_0\log h(\Theta)\,d\Theta=-\infty$. Для случая общих мер $\mu_{\mathbb D}$ даны некоторые достаточные условия аппроксимации полиномами в пространстве $L^2(h)\oplus L^2(\mu_{\mathbb D})$.