Оценки решений двухточечных задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и метод прямых

В работе устанавливаются оценки решений систем дифференциальных уравнений первого порядка
\begin{equation} \frac{\partial u_i}{\partial t}\sum_{j=0}^W a_{ij}(t)u_j+f_i(t),\quad0<t\le t,\quad i=1,\dots,n, \tag{1} \end{equation}
подчиненных двухточечным условиям вида
\begin{equation} \alpha_iu_i(0)+\beta_iu_i(T)=\gamma_i,\quad\alpha_i\beta_i\gamma_i=0,\quad i=1,\dots,n, \tag{2} \end{equation}
позволяющие, в частности, получить оценку порядка равномерной сходимости метода прямых решения нелинейных периодически-краевых задач для нелинейных параболических дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка вида
\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t}=F(t,x,u,\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^2u}{\partial x^2}),\quad0<t\le T,\quad0<x<1. \tag{3} \end{equation}
Для задач с граничными условиями, содержащими производные
$$ \frac{\partial u}{\partial x}(t,0)=\varphi(t,u(t,0)), \quad\frac{\partial u}{\partial x}(t,1)=\Psi(t,u(t,1)), $$
где функции $\varphi(t,u)$ и $\Psi(t,u)$ в малой окрестности рассматриваемого решения $u(t,x)$ уравнения (3) удовлетворяют неравенствам
$$ \frac1{u-\overline u}[\varphi(t,u)-\varphi(t,\overline u)]\ge0,\quad \frac1{u-\overline u}[\Psi(t,u)-\Psi(t,\overline u)]\le0, $$
для которых аппроксимация имеет лишь первый порядок относительно шага сетки $h$. Равномерная сходимость приближенных решений к точному устанавливаются со вторым порядком относительно $h$. Библ. – 1 назв.