Сходимость метода прямых в случае первой периодически-краевой задачи для нелинейного параболического уравнения второго порядка

Для приближенного решения первой обобщенной периодически-краевой задачи в случае квазилинейного параболического уравнения второго порядка вида
\begin{equation} \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{d}{dx}k\biggl(t,x,\frac{\partial u} {\partial x}\biggr)-f(t,x,u),\quad0<t\le T,\quad0<x<1 \tag{1} \end{equation}
с периодическим условием
\begin{equation} u(0,x)=\mu u(T,x)+\omega(x),\quad0<x<1 \tag{2} \end{equation}
и краевыми условиями
\begin{equation} u(t,0)=u(t,1)=0,\quad0<t\le T \tag{3} \end{equation}
рассматривается продольный вариант метода прямых, сводящий решение задачи (1)–(3) к решению двухточечной задачи для системы $N-1$ обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида
\begin{equation} \begin{gathered} \frac{\partial W}{\partial t}(y,x) =\bigl[a(t,x,W_{\bar x})\bigr]_x-\varphi(t,x,W),\\ 0<t\le T,\quad x\in\omega_n =[x=ih;i:=1,\dots,N-1;Nh=1] \end{gathered} \tag{4} \end{equation}
с двухточечными условиями
\begin{equation} W(0,x)=\mu W(T,x)+\omega(x),\quad x\in\omega_h. \tag{5} \end{equation}
Устанавливается оценка погрешности. При двух способах выбора функций $a(t,x,p)$ и $\varphi(t,x,u)$ установлена сходимость решений задачи (4),(5) к обобщенному решению задачи (1)–(3). В предположении интегрируемости с квадратом третьей производной $\partial^3u/\partial x^3(t,x)$ решения задачи (1)–(3) гарантируется сходимость с порядком $h^2$. Библ. – 3 назв.