Сходимость с порядком $h^{2p-1}$ $2p+1$-точечной схемы метода прямых для одной краевой задачи

К краевой задаче
\begin{align} \Delta u(x,y)&=f(x,y),\quad -a<x<a,\quad 0<y<b, \tag{1}\\ &\begin{aligned} u(-a,y)&=\gamma_1(y),\quad u(x,0)=\gamma_3(x)\\ u(a,y)&=\gamma_2(y),\quad u(x,b)=\gamma_4(x) \end{aligned}\biggr\} \tag{2} \end{align}
применяется многоточечная схема метода прямых. Вторая производная $\partial^2u/\partial y^2$ заменена $2p+1$-точечной ($p$ – любое натуральное число) центрально-разностной аппроксимацией с погрешностью порядка $h^{2p}$, где $h$ – шаг сетки прямых. Соотнесенная задаче (1), (2) аппроксимирующая система обыкновенных дифференциальных уравнений преобразована в распадающуюся. Устанавливается равномерная сходимость приближенного решения метода прямых к решению исходной краевой задачи с порядком $h^{2p-1}$. Для этого рассматривается решение распадающейся системы с нулевыми граничными условиями для разности между точным решением задачи (1), (2) и приближенным решением, получаемым методом прямых. Исследуется поведение этого решения при $h\to0$ в точке $x=0$, а затем в любой точке $z\in(-a,a)$ посредством преобразования независимой переменной $x$ с переводом точки $z$ в нулевую. Библ. – 5 назв.