Геометрия конечномерных нормированных пространств и непрерывные функции на евклидовой сфере

Пусть $\mathbb R^n$ – $n$-мерноe евклидово пространство, $\|\cdot\|$ – норма в $\mathbb R^n$. Две прямые $\ell_1$ и $\ell_2$ в $\mathbb R^n$ называются $\|\cdot\|$-ортогональными, если для их $\|\cdot\|$-единичных направляющих векторов $\mathbf e_1$ и $\mathbf e_2$ выполняется равенство $\|\mathbf e_1+\mathbf e_2\|=\|\mathbf e_1-\mathbf e_2\|$. В работе доказано, что для любых двух норм $\|\cdot\|$ и $\|\cdot\|'$ в $\mathbb R^n$ найдется набор прямых $\ell_1,\ldots,\ell_n$, попарно $\|\cdot\|$- и $\|\cdot\|'$-ортогональных одновременно.
Пусть $f\colon S^{n-1}\to\mathbb R$ – непрерывная числовая функция на стандартной единичной сфере $S^{n-1}\subset \mathbb R^n$ с центром $O$. В работе доказано, что найдется $(n-1)$-мерный куб с центром в $O$, вписанный в сферу $S^{n-1}$ и такой, что все суммы значений функции $f$ в вершинах его $(n-3)$-мерных граней равны между собой. Если функция $f$ – четная, то найдется $n$-мерный куб с теми же свойствами. Кроме того, если $f$ – четная, существует ортонормальный базис $\mathbf e_1,\ldots,\mathbf e_n$ такой, что для $1\le i<j\le n$ выполняется равенство $f\left(\frac{\mathbf e_i+\mathbf e_j}{\sqrt 2}\right)=f\left(\frac{\mathbf e_i-\mathbf e_j}{\sqrt2}\right)$. Библ. – 7 назв.