Два способа избежать наследственной полноты

Семейство векторов $\mathfrak X=\{x_n:n\geq1\}$ гильбертова пространства $H$ называется наследственно полным, если оно обладает биортогональным семейством $\{x'_n;n\geq1\}$ ($(x_n,X'_k)=\delta_{nk}$) и если любой элемент $x$, $x\in H$, восстанавливается по компонентам своего ряда Фурье, т.е. если $x\in V((x,x'_n)x_n:n\geq1)$, $\forall_x\in H$. В статье указываются два простых способа построения ненаследственно полных минимальных семейства с тотальным биортогональным семейством, что еще не так давно вызывало известные затруднения, см. РЖМат 1975, 7Б802. Первый из них состоит в том, чтобы заданную пару биортогональных семейств $Y,Y'$ пространства $H$, $H'\subset H$, представить как проекцию семейств $\mathfrak X,\mathfrak X'$, того же типа, но уже полных в $H$. Ясно, что при этом $X$ не может быть наследственно полным. Второй способ состоит в рассмотрении линейных деформаций $\{Ae_n:n\geq1\}$ ортогональных базисов $\{e_n:n\geq1\}$; здесь $A$ – неограниченный оператор специального вида.