Коэффициенты Тейлора с редкими номерами для функций, суммируемых по площади

Заметка посвящена изучению коэффициентов Тейлора $\hat f(n)$ функций $f$, аналитических в открытом единичном круге $\mathbb D$ и суммируемых в нем со степенью $p$ ($p\in[1,\infty)$) по плоской мере Лебега $m_2$; совокупность всех таких функций $f$ обозначим символом $\mathscr H^p$. Доказана следующая
Теорема. {\it Пусть $p\in[1,\infty)$, $n=(n_k)_{k\geq1}$ – лакунарная последовательность натуральных чисел. Тогда
1) для любой функции $f$, $f\in\mathscr H^p$:
$$ \sum_{k\geq1}|\hat f(n_k)|^p\frac1{n_k}<+\infty; $$

2) для любой последовательности чисел ($a_k)_{k\geq1}$ такой, что $\sum_{k\geq1}|a_k|\frac1{n_k}<+\infty$ существует функция $f$, $f\in\mathscr H^p$ для которой
$$ f(n_k)=a_k,\quad\forall k,\quad k\in\mathbb N. $$
}