Лекции об операторе сдвига. IV

Продолжение статей I–III, опубликованных в т.т. 39, 47, 56 того же издания. Рассматриваются оператор сдвига $f\to zf$ в пространствах (обобщенных) функций на окружности $\mathbb T$ и его спектральные подпространства. Если $X$ такое пространство и $e\in\mathbb T$, то $X_e\overset{\operatorname{def}}=\{f\in X,\operatorname{supp}f\subset e\}$. Каков класс $X$-пренебрежимых множеств $e$, т.е. таких, что $X_e=\{\mathbb O\}$? Это – известный в гармоническом анализе вопрос о множествах единственности. Доказываются как известные теоремы о таких множествах (теоремы Фростмана, Ньюмена, Кацнельсона), так и новые. Среди последних: если
$$ X=\biggl\{f:\sum_{n\in\mathbb Z}|\hat{f}(n)|^p\log^{-\beta p}(|n|+1) \leq\infty\biggr\},\quad0\leq\beta<1<p<\frac2{1+\beta}, $$
то существуют множества $e$ с $X_e=\{\mathbb O\}$, для которых лебегова мера $\mathbb T\setminus e$ сколь угодно мала.