Оценка нормы $|f(B)-f(A)|$ для самосопряженных операторов $A$ и $B$

Доказывается, что $|f(B)-f(A)|\leq C\|f\|_1(\log\frac{b-a}{|A-B|}+2)^2|A-B|$, где $[a,b]$ – сегмент, содержащий спектры самосопряженных операторов $A$ и $B$, $\|f\|_1$ – константа Липшица функции $f$, $|\cdot|$ – операторная норма. На примерах показано, что оценка типа $|f(B)-f(A)|\leq C|A-B|$ не может быть верной для всех $f$ с $\|f\|_1\leq1$, даже если спектры операторов $A$, $B$ содержатся в сегменте $[0,1]$ и норма $|A-B|$ сколь угодно мала.