О полноте слабых возмущений самосопряженных операторов

В работе решена следующая задача М. В. Келдыша: пусть $H$ – вполне непрерывный самосопряженный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$, $\operatorname{Ker}H=\{\mathbb O\}$, $T\overset{\text{def}}=H(I+S)$ – его слабое возмущение (то есть оператор $S$ – вполне непрерывен, а $I+S$ – обратим); верно ли, что оператор $T$ будет полным вместе с $H$ (то есть, что семейство его корневых векторов полно в $H$? Ответ отрицателен. Описаны все операторы $H$, для которых ответ положителен (при любом $S$): это такие полные положительные вполне непрерывные операторы $H$, что
$$ \varliminf_{r\to\infty}\frac{\log[\nu(r(1+\varepsilon))-\nu(r)+1]}{\log r}<+\infty, $$
где $\nu(t)$ – количество собственных чисел $H$, больших $1/t$ ($t>0$), $\varepsilon>0$.