Теорема деления для аналитических функций с заданной мажорантой и некоторые ее приложения

Пусть $M$ – неотрицательная монотонно растущая функция на полуоси $(0,\infty)$. Пусть, далее, $\varphi_i$ ($i=1,2$) и $\varphi_1/\varphi_2$ – регулярные в полуплоскости $\operatorname{Re}z>0$ функции, допускающие оценки $\log|\varphi_i(z)|\leq M(1/\operatorname{Re}z)$, $i=1,2$, $\varlimsup_{z\to\infty}(\operatorname{Re}z)\cdot\log|\varphi_2(z)|\geq0$ при $|\arg z|\leq\pi/2-\alpha$, $0<\alpha<\pi/2$
$$ \log\biggl|\frac{\varphi_1(z)}{\varphi_2(z)}\biggr|\leq\frac{C(\varepsilon)} {\operatorname{Re}z}\biggl(\int_0^{\frac{1+\varepsilon}{\operatorname{Re}z}} \frac{\sqrt{M(t)}}{t^{3/2}}\,dt\biggr)^2,\quad\operatorname{Re}z>0, $$
$C(\varepsilon)$ – эффективно вычисляемая постоянная. Эта теорема (усиливающая в некоторых направлениях оценки Н. К. Никольского РЖМат 1972, 12Б166) прилагается для доказательства возможности деления и локальности замкнутых идеалов в алгебрах $X_\rho$ всех функций $f$, регулярных в круге $|z|<1$ и таких, что $\log|f(z)|\leq C/(1-|z|)^\rho$, $\rho>1$.