О связи между случайными кривыми, заменами времени и моментами регенерации случайных процессов

Рассматривается произведение пространств $\Phi\times D$, где $\Phi$ – множество всех непрерывных неубывающих функций $\varphi\colon[0,\infty)\to(0,\infty)$, $\varphi(0)=0$, $\varphi(t)\to+\infty$ ($t\to\infty$); $D$ – множество всех непрерывных справа функций $\xi\colon(0,\infty)\to X$, где $X$ – некоторое метрическое пространство. Определяются два отображения $\Phi\times D\to D$: первое – проекция $q(\varphi,\xi)=\xi$, второе – замена времени $u(\varphi,\xi)=\xi\circ\varphi$. Определяется следующее соотношение эквивалентности на $D$:
$$ \zeta_1\sim\xi_2\Leftrightarrow\exists\varphi_1,\varphi_2\in\Phi: \xi_1\circ\varphi_1=\xi_2\circ\varphi_2. $$

Пусть $M$ – множество всех классов эквивалентности, $L$ – отображение $D\to M$: $L\xi_1=\xi_2\Leftrightarrow\xi_1\sim\xi_2$, $L\xi$ называется кривой, соответствующей $\xi$. Доказана следующая теорема: два случайных процесса с вероятностными мерами $P^1$ и $P^2$ на $D$ обладают одинаковыми случайными кривыми (т.е. $P^1\circ L^{-1}=P^2\circ L^{-1}$) тогда и только тогда, когда существуют такие две замены времени (т.е. вероятностные меры $Q^1$ и $Q^2$ на $\Phi\times D$, для которых $P^1=Q^1\circ q^{-1}$, $P^2=Q^2\circ q^{-1}$), которые переводят эти два процесса в процесс с мерой $\widetilde P$ (т.е. $Q^1\circ u^{-1}=Q^2\circ u^{-1}=\widetilde{P}$). Если $(P_x^1)_{x\in X}$ и $(P_x^2)_{x\in X}$ – два семейства вероятностных мер, для которых $P_x^1\circ L^{-1}=P_x^2\circ L^{-1}$ $\forall x\in X$, то для каждого $x\in X$ соответствующие меры $Q^1_x$ и $Q^2_x$ могут быть найдены следующим образом. Множество моментов регенерации семейства $(\widetilde{P}_x)_{x\in X}$ содержит все моменты остановки, которые являются одновременно моментами регенерации семейств $(P^1_x)_{x\in X}$ и $(P^2_x)_{x\in X}$ и обладают некоторым специальным свойством первого пересечения. Библ. – 12 назв.