Нормы сверток определяют функцию

Теорема. {\it Пусть $G$ – компактная коммутативная группа и $f,g\in L^p(G)$, где $p$ не является целым четным числом. Если для любых чисел $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ и любых элементов $a_1,\dots,a_n$ из $G$ выполнено равенство
$$ \bigl\|\sum\alpha_if_{a_i}\bigr\|_{L^p}=\bigl\|\sum\alpha_ig_{a_i}\bigr\|_{L^p}, $$
то существуют $b$, $b\in G$ и $\alpha$, $|\alpha|=1$ такие, что $f=\alpha g_b$. Здесь $f_a$ сдвиг $x\mapsto f(x-a)$ функции $f$.}