Характеристика инвариантно порядково ограниченных множеств в пространстве $L^p(\Omega,\mu)$

Подмножество $KB$-линеала называется инвариантно порядково ограниченным, если его образ при любом линейном непрерывном отображении $KB$-линеала в себя порядково ограничен. Основной результат работы таков:
подмножество пространства $L^p(\Omega,\mu)$ ($1<p<+\infty$) инвариантно порядково ограничено в том и только том случае, если оно содержится в $p$-эллипсоиде, то есть множестве вида
$$ \biggl\{\sum_{k=1}^\infty t_ky_k\Bigm| \sum_{k=1}^\infty|t_k|^{p'}\leq1\biggr\}, $$
где
$$ y_k\in L^p(\Omega,\mu),\quad\sum_{k=1}^\infty\|y_k\|^p<+\infty,\quad p'=\frac{p}{p-1}. $$
Доказывается, что для инвариантно порядково ограниченного в $L^p(\Omega,\mu)$ множества $B$ можно указать такое число $C$, что имеет место неравенство
$$ \|\sup U(B)\|\leq C\|U\|, $$
где $U$ – произвольное линейное непрерывное отображение пространства $L^p(\Omega,\mu)$ в себя.
Устанавливаются также некоторые свойства подмножеств пространства $L^p(\Omega,\mu)$, не являющихся инвариантно порядково ограниченными.