|
Записки научных семинаров ЛОМИ, 1974, том 47, страницы 5–14
(Mi znsl2763)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 6 научных статьях (всего в 6 статьях)
Об интегральном представлении линейных операторов
А. В. Бухвалов
Аннотация:
В работе получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы линейный оператор, действующий в пространствах измеримых функций, допускал интегральное представление. Приведем основные результаты. Пусть $(T_i,\mu_i)$ ($i=1,2$) – пространства с конечной мерой, $(T,\mu)$ ($i=1,2$) – произведение этих пространств. Пусть $E$ – идеал в пространстве измеримых функций $S(T_1,\mu_1)$ (т.е. из $|e_1|\leq|e_2|$, $e_1\in S(T_1,\mu_1)$, $e_2\in E$ следует $e_1\in E$).
Теорема 2. Пусть $U$ – линейный оператор из $E$ в $S(T_2,\mu_2)$.
Следующие утверждения эквивалентны:
1) существует $\mu$-измеримое ядро $K(t,s)$, такое что
$$
(Ue)(s)=\int K(t,s)e(t)\,d\mu_1(t)\quad (e\in E);
$$
2) если $0\leq e_n\leq e\in E$, $n=1,2,\dots$, и $e_n\to0$ по мере, то $(Ue_n)(s)\to0$ $\mu_2$-п.в.
Теорема 3. Пусть функция такова, что при любом $e\in E$ для п.в. $s$ определена $\mu_2$-измеримая функция $y(s)=\int\Phi(t,s)e(t)\,d\mu_1(t)$. Тогда существует $\mu$-измеримая функция $K(t,s)$ такая, что при любом $e\in E$ имеем
$$
\int\Phi(t,s)e(t)\,d\mu_1(t)=\int K(t,s)e(t)\,d\mu_1(t)\quad \text{$\mu_1$-п.в.}
$$
Образец цитирования:
А. В. Бухвалов, “Об интегральном представлении линейных операторов”, Исследования по линейным операторам и теории функций. V, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 47, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1974, 5–14
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/znsl2763 https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v47/p5
|
|