Об интегральном представлении линейных операторов

В работе получены необходимые и достаточные условия для того, чтобы линейный оператор, действующий в пространствах измеримых функций, допускал интегральное представление. Приведем основные результаты. Пусть $(T_i,\mu_i)$ ($i=1,2$) – пространства с конечной мерой, $(T,\mu)$ ($i=1,2$) – произведение этих пространств. Пусть $E$ – идеал в пространстве измеримых функций $S(T_1,\mu_1)$ (т.е. из $|e_1|\leq|e_2|$, $e_1\in S(T_1,\mu_1)$, $e_2\in E$ следует $e_1\in E$).
Теорема 2. Пусть $U$ – линейный оператор из $E$ в $S(T_2,\mu_2)$. Следующие утверждения эквивалентны:
1) существует $\mu$-измеримое ядро $K(t,s)$, такое что
$$ (Ue)(s)=\int K(t,s)e(t)\,d\mu_1(t)\quad (e\in E); $$

2) если $0\leq e_n\leq e\in E$, $n=1,2,\dots$, и $e_n\to0$ по мере, то $(Ue_n)(s)\to0$ $\mu_2$-п.в.
Теорема 3. Пусть функция такова, что при любом $e\in E$ для п.в. $s$ определена $\mu_2$-измеримая функция $y(s)=\int\Phi(t,s)e(t)\,d\mu_1(t)$. Тогда существует $\mu$-измеримая функция $K(t,s)$ такая, что при любом $e\in E$ имеем
$$ \int\Phi(t,s)e(t)\,d\mu_1(t)=\int K(t,s)e(t)\,d\mu_1(t)\quad \text{$\mu_1$-п.в.} $$