Оценка деформации замкнутой выпуклой поверхности при изменении ее кривизны

Рассматриваются замкнутые выпуклые поверхности $F$ пространства $\mathbb R^3$, содержащие внутри фиксированную точку $\mathbb O$. Центральное проектирование из $\mathbb O$ позволяет перенести кривизну $\omega(u)$ поверхности $F$, понимаемую как функция множества $u\in F$, на сферу с центром $\mathbb O$. А. Д. Александров установил, что поверхность $F$ определяется, притом однозначно с точностью до гомотетии с центром $\mathbb O$, заданием перенесенной таким образом на сферу кривизны. В работе дается оценка изменения расстояний $r_F(B)$ точек поверхности от $\mathbb O$ в зависимости от изменения перенесенной на сферу кривизны. Вывод этой оценки существенно опирается на невырожденность поверхности $F$; мерой невырожденности служит отношение $R/r$ радиусов описанного около $F$ и вписанного в $F$ шаров с центром $\mathbb O$. В работе вводятся и изучаются те характеристики $\lambda_F$ и $\tau_F$ кривизны поверхности $F$, которые позволяют оценить $R/r$ сверху и тем самым получить оценку изменения $r_F(B)$ только через кривизну поверхности и ее изменение. При аналитической трактовке основной результат работы дает оценку максимума модуля изменения решения некоторого уравнения типа Монжа–Ампера на сфере через изменение его правой части в некоторой интегральной норме, а оценка $R/r$ дает априорную оценку модуля решения упомянутого уравнения.