Об одной проблеме единственности для конечных мер в евклидовых пространствах

Рассматриваются конечные меры $\mu(B)$, определенные на борелевских множествах $B\in\mathscr B$ евклидового пространства $n$ измерений $R^n$. Для данного $B_0\in\mathscr B$ через $B_u$ обозначается сдвиг множества $B_0$: $B_u=\{x:x-u\in B_0,x\in R^n\}$. Изучается вопрос об единственности меры $\mu$ по ее значениям на системе множеств $\{B_u\}$, образованной всеми сдвигами $B_u$ и $\in R^n$. В частности, доказано, что в случае ограниченного $B_0$ ненулевой (лебеговой) меры $|B_0|>0$ мера $\mu$ с данными значениями на $\{B_u\}$ единственна в классе всех конечных мер. Установлена устойчивость этого результата в топологии слабой сходимости мер, если их носители ограничены. В случае $|B_0|=\infty$ для единственности $\mu$ в классе мер с ограниченными носителями достаточно, чтобы преобразование Фурье $\widehat\chi_{B_0}(x)$ (в смысле теории обобщенных функций) индикатора $\chi_{B_0}(x)$ множества имело носитель, содержащий некоторое открытое в $R^n$ множество. Библ. – 9 назв.