Заполнение пробела между теоремами Гершгорина и Бруальди

В работе представлены новые достаточные условия невырожденности $n\times n$ матрицы, формулируемые в терминах контуров длины, не превосходящей фиксированного числа $r\ge 0$, и простых путей длины равной $r$ в ориентированном графе этой матрицы. Эти условия являются промежуточными между условиями диагонального преобладания, формулируемыми в терминах всех путей длины $r$, и контурными условиями диагонального преобладания, предложенными Бруальди. При $r= 0$ новые условия сводятся к стандартным условиям диагонального преобладания по строкам $|a_{ii}|\ge\sum\limits_{j\ne i}|a_{ij}|$, $i=1,\dots,n$, а при $r=n$ они совпадают с контурными условиями Бруальди. Тем самым, будучи семейством достаточных условий невырожденности матриц, предложенные условия являются связующим звеном между классической теоремой Леви–Депланка и теоремой Бруальди. Далее, для неприводимых матриц, удовлетворяющих этим условиям, решена проблемы вырожденности/невырожденности. Кроме того, предложено так называемое смешанное обобщение условий невырожденности, в котором одновременно используются строчные и столбцовые суммы произвольного конечного множества матриц, диагонально сопряженных с заданной. В простейшем нетривиальном случае это обобщение сводится к классическим условиям Островского $|a_{ii}|>(\sum\limits_{j\ne i}|a_{ij}|)^\alpha\;(\sum\limits_{j\ne i}|a_{ji}|)^{1-\alpha}$, $i=1,\dots,n$, $0\le\alpha\le 1$. Полученные условия невырожденности используются для описания новых областей локализации собственных значений матрицы, которые зависят от $r$ и при изменении $r$ от 0 до $n$ служат мостиком, соединяющим множество кругов Гершгорина с контурным множеством Бруальди. Библ. – 16 назв.