Stokes and Navier–Stokes problems in the half-space: existence and uniqueness of solutions non converging to a limit at infinity

Изучается задача Коши и начально-краевая задача в полупространстве для уравнений Стокса и Навье–Стокса. Доказывается существование и единственность классических решений $(u,\pi)$ (по крайней мере $C^2\times C^1$ гладких по пространственным переменным и $C^1\times C^0$ гладких по времени) при отсутствии требования сходимости на бесконечности. Априори предполагается, что поля $u$ и $\pi$ не растут на бесконечности. В случае задачи Стокса, при всех $t>0$ доказывается существование и единственность решения с полем скоростей $u=O([1+t^\frac\beta2][1+|x|^\beta])$ и полем давления $\pi=O([1+t^\frac\beta2][1+|x|^\beta]|x|^\gamma)$, с некоторым $\beta\in(0,1)$ и $\gamma\in(0,1-\beta)$. В случае уравнений Навье–Стокса доказывается (локальное по времени) существование и единственность классических решений уравнений Навье–Стокса, при условии, что начальные данные непрерывны и ограничены. Показано, что поле скоростей $u(x,t)$ ограничено при всех $t\in(0,T)$ и поле давления $\pi(x,t)=O(1+|x|^\gamma)$ при всех $\gamma\in(0,1)$. Библ. – 20 назв.