Defining the integers in large rings of a number field using one universal quantifier

Джулия Робинсон показала, что в языке первого порядка можно определить кольцо целых чисел $\mathbb Z$ в поле $\mathbb Q$ формулой вида $(\forall\exists\forall\exists)(F=0)$, где $F$ – многочлен, а общее количество кванторов общности равно 8.
В настоящей статье доказывается, что для большого класса числовых полей (не включающего $\mathbb Q$), для любого $\varepsilon>0$ существует такое множество простых $\mathcal S$ плотности большей $1-\varepsilon$, что $\mathbb Z$ может быть определено как подмножество “большого” кольца
$$ \{x\in K\colon\operatorname{ord}_\mathfrak px\geq0,\ \forall\,\mathfrak p\not\in\mathcal S\} $$
формулой с одним квантором общности. В случае поля $\mathbb Q$ требуется два квантора. Также показано, что в некоторых случаях можно определить подполе числового поля, используя только один квантор общности. Библ. – 18 назв.