О некоторых задачах векторного анализа и обобщенных постановках краевых задач для уравнений Навье–Стокса

Рассмотрен вопрос о том, при каких ограничениях на область $\Omega\subset R^n$, $n=2,3$, пространство $\overset{\hat\circ}J{}^1_2(\Omega)$ соленоидальных векторных полей из $\overset{\circ}W{}^1_2(\Omega)$ совпадает с пространством $\overset{\circ}J{}^1_2(\Omega)$ – замыканием в $W_2^1(\Omega)$ множества всех соленоидальных векторов из $\dot C^\infty(\Omega)$. Указаны области $\Omega\subset R^n$, для которых фактор-пространство $\overset{\hat\circ}J{}^1_2(\Omega)/\overset{\circ}J{}^1_2(\Omega)$ имеет конечную ненулевую размерность. Аналогичный вопрос рассмотрен для пространств соленоидальных векторов с конечным интегралом Дирихле. На основании этого проведено сравнение двух обобщенных постановок краевых задач для системы Стокса и Навье–Стокса. В качестве вспомогательных исследованы задачи: 1) $\operatorname{div}\vec{u}=\varphi$, $\vec{u}|_{\partial\Omega}=0$; 2) $\operatorname{div}\vec{u}=0$, $\vec{u}|_{\partial\Omega}=\vec{\alpha}$; 3) $\operatorname{grad}p=\sum\limits^n_{k=1}\dfrac{\partial\vec{R}_k}{\partial x_k}+\vec{f}$. Библ. 10 назв.