Максимальная последовательность классов, преобразуемых примитивной рекурсией в заданный класс

Пусть $\mathscr E(g)$ – замыкание множества функций
$$ U_{1\leqslant k\leqslant n}\{\lambda x_1\dots x_n.x_k\}\cup\{\lambda x.0,\lambda x\lambda y.\max(x,y),\lambda x.x+1,g\} $$
относительно подстановки и ограниченной рекурсии; $\mathscr RA$ – замыкание относительно подстановки множества всех функций полученных однократным применением примитивной рекурсии к функциям из $\mathscr A$.
Пусть $f$ – возрастающая функция с графиком из $\mathscr E^\circ$, ограниченная снизу функцией $\lambda x.x+1$. Пусть для любого $k$ при достаточно больших $x$
$$ f(x+1)>f(x)+k. $$
Построена последовательность таких функций $\alpha_i$, что для любого $i$
$$ \mathscr E(\alpha_i)\subsetneqq\mathscr E(\alpha_{i+1}),\quad U^\infty_{j=1}\mathscr E(\alpha_j)\subsetneqq\mathscr E(f),\quad \mathscr E(f)=\mathscr{RE}(\alpha_i); $$
причем, какова бы ни была неубывающая функция $g$ с графиком из $\mathscr E^\circ$, ограниченная снизу функцией $\lambda x.x+1$, если $U^\infty_{j=0}\mathscr E(\alpha_j)\subseteq\mathscr E(g)$, то $\mathscr E(f)\subsetneqq\mathscr E(g)$.
Если $f(x)=2^x$ при всех $x$, то классы $\mathscr E(\alpha_i)$ возникают естественным образом при рассмотрении объема памяти, используемой при вычислении функций на машинах Тьюринга. Библ. 6 назв.