Локальные признаки существования функции спектрального сдвига

Пусть $U_0$, $U_1$ – унитарные операторы в гильбертовом пространстве. Если оператор $U_1-U_0$ ядерный, то (как установил М. Г. Крейн) существует функция $\eta$ на единичной окружности $\mathbf T$, $\eta=\eta(U_1,U_0)$, $\eta\in L_1(\mathbf T)$, удовлетворяющая равенству
\begin{gather} tr(\varphi(U_1)-\varphi(U_0))=\int_{\mathbf T}\eta(\zeta)\varphi'(\zeta)d\zeta \end{gather}
для всех функций $\varphi$ с производной $\varphi'$ из класса Винера. M. Ш. Бирман и М. Г. Крейн доказали, что функция $\eta$ связана с матрицей рассеяния $S$ для пары $U_0$, $U_1$ следующим равенством
\begin{gather} \det S(\zeta)=\exp(-2\pi i\eta(\zeta)), \tag{2} \end{gather}

В статье равенства (1) и (2) доказываются при более общих (локальных) условиях на пару $U_0$, $U_1$. В этих условиях исследуются некоторые свойства функции $\eta$ и описывается класс функций $\varphi$, допустимых в (1) . Указываются приложения к дифференциальным операторам.