Насколько хорошим может быть ненаследственно полное семейство?

Семейство векторов $\mathfrak X=\{x_n\}_{n\geqslant1}$ гильбертова пространства $H$ называется наследственно полным, если оно обладает биортогональным $\mathfrak X'$ (минимально) и любой элемент из $H$ восстанавливается по своему ряду Фурье: $x\in V((x,x'_n)x_n:n\geqslant1)$. В работе описываются все пары подпространств $A$, $B$, которые содержат равномерно минимальные взаимно биортогональные и полные семейства $\mathfrak X,\mathfrak X'$ ($V(\mathfrak X)=A$, $V(\mathfrak X')=B$ и $\sup_{n\geqslant1}\|x_n\|\cdot\|x'_n\|<+\infty$): для этого необходимо и достаточно, чтобы оператор $P_AP_BP_A$ не был вполне непрерывным. Это утверждение позволяет доказать, что: 1) если $d_n>0$, $\sum_{n\geqslant}d_n^2==\infty$, то существуют ортонормированный базис $\{\varphi_n\}_{n\geqslant1}$ и полные, но не наследственно полные, в $H$ биортогональные семейства $\mathfrak X$, $\mathfrak X'$ такие, что $\|x_n-\varphi_n\|\leqslant d_n$, $\|x'_n-\varphi_n\|\leqslant d_n(n\geqslant1)$, 2) если $\omega(n)>0$, $\lim_n\omega(n)=+\infty$, то существуют семейства описанного в предыдущем утверждении типа, для которых $|\mathscr P_\sigma|\leqslant c\omega(\operatorname{card}\sigma)$, где $\sigma$ – любое конечное множество натуральных чисел и $\mathscr P_\sigma x=\sum_{n\in\sigma}(x,x'_n)x_n$ – отвечающий ему спектральный проектор. Одним из побочных утверждений является описание всех числовых наборов $\alpha=(\alpha_k)^n_{k=1}$, представимых в виде $\alpha_k=q(f_k)$, $1\leqslant k\leqslant n$, где $q$ – гильбертова полунорма, заданная в евклидовом пространстве $E^n$, $\{f_k\}^n_{k=1}$ – подходящий ортонормированный базис. Это множество – выпуклая оболочка всех перестановок собственных чисел $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ полунормы $q$.