Теория рядов Эйзенштейна для группы $SL(3,\mathbf R)$ и ее приложение к одной бинарной задаче. Часть I. Разложение Фурье старшего ряда Эйзенштейна

На основе арифметических соображений получено разложение Фурье старшего ряда Эйзенштейна для главного однородного пространства группы $SL(3,\mathbf R)$ , автоморфного относительно дискретной группы $SL(3,\mathbf Z)$. Основным результатом работы является теорема 1, в которой приводится явная форма разложения Фурье, обобщающая известную формулу Сельберга–Човлы. Отсюда, в частности, следует независимое от работы Ленглендса (РЖМат, 1977, ЗА344) доказательство аналитической продолжимости и функциональных уравнений для этого ряда Эйзенштейна. Арифметические коэффициенты в разложении Фурье, обобщающие теоретико-числовую функцию $\sigma_s(n)=\sum_{d|n,d>0}d^s$, позволяют связать рассматриваемый ряд Эйзенштейна с задачей о нахождении асимптотики при $X\to\infty$ суммы $\sum_{n\leqslant X}\tau_3(n)\tau_3(n+k)$, где $\tau_3(n)$ – число решений уравнения $d_1d_2d_3=n$ в натуральных числах. Этой бинарной задаче будет посвящена часть II настоящей работы. В конце работы обсуждаются свойства специальных функций, участвующих в теореме 1. Библ. 7 назв.