Поведение средних Рисса коэффициентов $L$-функции симметрического квадрата

Пусть $f(z)$ – голоморфная параболическая собственная форма Гекке веса $k$ относительно $SL(2,\mathbb Z)$, $L(s,\mathrm{sym}^2f)=\sum_{n=1}^\infty c_nn^{-s}$, $\operatorname{Re}s>1$, – $L$-функция симметрического квадрата, ассоциированная с $f$.
Представим среднее Рисса $(\rho\ge 0)$
$$ \Gamma(\rho+1)^{-1}{\sum_{n\le x}}'(x-n)^\rho c_n=:D_\rho(x;\mathrm{sym}^2 f) $$
в виде суммы “вычетной функции” $\Gamma(\rho+1)^{-1}L(0,\mathrm{sym}^2f)x^\rho$ и “остаточного члена” $\Delta_\rho(x;\mathrm{sym}^2f)$. Используя выведенный ранее (Зап. научн. семин. ПОМИ 314 (2004), 247–256) аналог для $\Delta_\rho(x;\mathrm{sym}^2f)$ формулы Вороного, автор оценивает интеграл
$$ \int_1^X\Delta_\rho^2(x;\mathrm{sym}^2f)\,dx, $$
получая при $0<\rho\le 1$ асимптотику, а при $\rho=0$ оценку сверху. Доказано также наличие при $0<\rho\le 1$ предельного распределения у величины
$$ x^{-\frac23\rho-\frac13}\Delta_\rho(x;\mathrm{sym}^2f) $$
и, как следствие, у величины
$$ x^{-\frac23\rho-\frac13}D_\rho(x;\mathrm{sym}^2f), \quad 0<\rho<1. $$
Библ. – 12 назв.