Суммы квадратов над $\circ$-кольцом Фибоначчи

Рассмотрены диофантовы уравнения
$$ X_1^2+[(X_1+1)\tau]^2+\cdots+X_k^2+[(X_k+1)\tau]^2=A, $$
где $X_i,A\in\mathbb Z$ ($A\ge 0$) – целые рациональные числа, $k=2,3,4$, $\tau=(-1+\sqrt{5})/2$ – золотое сечение и $[*]$ обозначает целую часть числа. Для них найдены условия разрешимости и получены оценки снизу для числа решений. Указанные уравнения тесно связаны с уравнениями вида
$$ X_1\circ X_1+\cdots+X_k\circ X_k=A, $$
где операция $\circ$ – круговое умножение Кнута. Библ. – 17 назв.