|
Записки научных семинаров ЛОМИ, 1977, том 70, страницы 256–266
(Mi znsl1864)
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 2 научных статьях (всего в 2 статьях)
Разрешимость сеточных уравнений неявной схемы
для нелинейного параболического уравнения второго порядка
М. Н. Яковлев
Аннотация:
Рассмотрим следующую начально-краевую разностную задачу
\begin{gather}
\begin{gathered}
\rho\biggl(t_i,x_j,u_{ij},\dfrac{u_{ij+1}-u_{ij-1}}{2h}\biggr)\cdot\dfrac{u_{ij}-u_{i-1j}}{\tau}=
a\biggl(t_i,x_j,u_{ij},\dfrac{u_{ij+1}-u_{ij-1}}{2h}\biggr)\cdot
\\
\cdot\dfrac{u_{ij+1}-2u_{ij}+u_{ij-1}}{h^2}+b\biggl(t_i,x_j,u_{ij},\dfrac{u_{ij+1}-u_{ij-1}}{2h}\biggr),
\quad i=1,\dots,m,\enskip j=1,\dots,n
\end{gathered}
\tag{1}
\\
u_{0j}=\omega(x_j)\quad j=1,\dots,n
\tag{2}
\\
\begin{gathered}
u_{i0}=u_{in+i}=0\quad i=1,\dots,m
\\
x_j=jh;\quad t_i=i\tau\quad h=\dfrac{1}{n+1},\quad \tau=\dfrac{T}{m}
\end{gathered}
\tag{3}
\end{gather}
являющуюся аппроксимацией соответствующей задачи для дифференциального уравнения. Пусть при $0<t\leqslant T$, $0<x<1$, $-\infty<u,p<+\infty$ функции $\rho(t,x,u,p)$, $a(t,x,u,p)$ и $(t,x,u,p)$ непрерывны и
\begin{gather*}
\rho(t,x,u,p)>0,\quad a(t,x,u,p)\geqslant0
\\
|b(t,x,u,p)-b(t,x,u,0)|\leqslant\biggl[\dfrac{\sigma}{x}+\dfrac{\sigma_1}{1-x}+\dfrac{M}{2}
\biggl(\dfrac{1}{x^y}+\dfrac{1}{(1-x)^y}\biggr)\biggr]p/a(t,x,u,p)
\\
\sigma_1,\sigma\geqslant0,\quad M\geqslant0,\quad\sigma_1+\sigma\leqslant2,\quad0\leqslant y<1
\\
\dfrac{1}{u}\biggl[b(t,x,u,0)-b(t,x,0,0)\biggr]\leqslant\biggl[\dfrac{\alpha}{t}+l+\alpha_1\tau^\mu\biggr]
\rho(t,x,u,p),
\\
0\leqslant\alpha<1,\quad \alpha_1\geqslant0,\quad 0\leqslant\mu<1
\\
|b(t,x,0,0)|\leqslant A(t)\rho(t,x,u,p).
\end{gather*}
Тогда при $h^{1-y}M\leqslant M\leqslant3-\sigma_1-\sigma, 1-\alpha-\tau l-\alpha_1\tau^{1-\mu}>0$ начально-краевая разностная задача (1)–(3) разрешима.
Приводятся также различные видоизменения и обобщения приведенного утверждения относящиеся к различным разностным аппроксимациям начально-краевой задачи для уравнений
$$
\rho(t,x,u,\dfrac{\partial u}{\partial x})\dfrac{\partial u}{\partial t}=F\biggl(t,x,u,\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{d}{dx}K(t,x,\dfrac{\partial u}{\partial x})\biggr),\quad 0<t\leqslant T,\quad0<x<1
$$
и систем слабо-связанных уравнений такого типа. Библ. 2 назв.
Образец цитирования:
М. Н. Яковлев, “Разрешимость сеточных уравнений неявной схемы
для нелинейного параболического уравнения второго порядка”, Численные методы и вопросы организации вычислений, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 70, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1977, 256–266; J. Soviet Math., 23:1 (1983), 2081–2090
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/znsl1864 https://www.mathnet.ru/rus/znsl/v70/p256
|
Статистика просмотров: |
Страница аннотации: | 137 | PDF полного текста: | 47 |
|