Равномерная сходимость неявной схемы метода сеток решения первой краевой задачи для нелинейного параболического уравнения второго порядка

Пусть $u(t,x)$ решение первой начально-краевой задачи для квазилинейного параболического уравнения
\begin{equation} \dfrac{\partial u}{\partial t}=a(t,x,u,\dfrac{\partial u}{\partial x})\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+ b(t,x,u,\dfrac{\partial u}{\partial x}),\qquad 0<t\leqslant T,\quad 0<x<1 \tag{1} \end{equation}
с начальным условием
\begin{equation} u(0,x)=\omega(x),\quad 0<x<1 \tag{2} \end{equation}
и краевыми условиями
\begin{equation} u(t,0)=u(t,1)=0,\quad 0<t\leqslant T, \tag{3} \end{equation}
такое что
$$ \biggl|\dfrac{\partial^4u}{\partial x^4}(t,x)\biggr|\leqslant C,\quad \biggl|\dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}(t,x)\biggr|\leqslant\dfrac{c}{t^\sigma},\quad 0\leqslant\sigma<2 $$
Пусть функции $a(t,x,u,p)$, $b(t,x,u,p)$ гладкие и $a(t,x,u,p)\geqslant\alpha>0$ в малой окрестности рассматриваемого решения. Тогда неявная схема метода сеток равномерно сходится к рассматриваемому решению с порядком $h^2+\varphi(\tau)$ при условии, что
\begin{equation} \varphi(\tau)\leqslant\beta h^\gamma,\quad \beta>0,\quad \gamma>1 \tag{4} \end{equation}
Здесь
$$ \varphi(\tau)= \begin{cases} \tau & \text{ при }0\leqslant\sigma<1\\ \tau\ln\dfrac{T}{\tau} & \text{ при }\sigma=1\\ \tau^{2-\sigma} & \text{ при }1<\sigma<2. \end{cases} $$
Рассмотрены также условия сходимости без выполнения соотношений (4), условия сходимости для уравнений вида
$$ \dfrac{\partial u}{\partial t}=F\biggl(t,x,u,\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{d}{dx}K(t,x,\dfrac{\partial u}{\partial x})\biggr) $$
и слабо связанных систем таких уравнений. Библ. 2 назв.