Равномерная сходимость метода прямых в случае первой краевой задачи для нелинейного параболического уравнения второго порядка

Пусть $u(t,x)$ решение первой начально-краевой задачи для нелинейного уравнения
$$ \dfrac{\partial u}{\partial t}=F\biggl(t,x,u,\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}\biggr),\qquad 0<t\leqslant T,\quad 0<x<1 $$
с начальным условием
$$ u(0,x)=\omega(x),\quad 0<x<1 $$
и краевыми условиями $u(t,0)=u(t,1)=0$, $0<t\leqslant t$, такое что $\biggl|\dfrac{\partial^4u}{\partial x^4}(t,x)\biggr|\leqslant C$. Пусть функция $F(t,x,u,p,r)$ гладкая и такая, что
$$ \dfrac{1}{r-\overline{r}}\biggl[F(t,x,u,p,r)-F(t,x,u,p,\overline{r})\biggr]\geqslant\alpha>0 $$
в малой окрестности рассматриваемого решения. Тогда продольная схема метода прямых сходится к рассматриваемому решению равномерно с порядком $h^2$. Рассмотрен случай менее гладких решений, более общих уравнений. Приведены теоремы, указыващие явные оценки для шага $h$, при котором гарантируется нелокальная разрешимость задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений метода прямых. Библ. 1 назв.