Равномерная сходимость неявной схемы метода сеток решения нелинейной краевой задачи для нелинейного параболического уравнения второго порядка

Нелинейная начально-краевая задача дая параболического уравнения
\begin{gather} \dfrac{\partial u}{\partial t}=F(t,x,u,\dfrac{\partial u}{\partial x},\dfrac{\partial^2u}{\partial x^2})\quad 0<t\leqslant T,\quad 0\leqslant x<1 \tag{1} \\ u(0,x)=\omega(x),\quad 0<x\leqslant1 \tag{2} \\ \dfrac{\partial u(t,0)}{\partial x}=\varphi(t,u(t,0)),\quad u(t,1)=0,\quad 0<t\leqslant T \tag{3} \end{gather}
аппроксимируется начально краевой разностной задачей
\begin{gather} P_{i0}(u_{ij})=\dfrac{u_{i0}-u_{i-1,0}}{\tau}-F(t_1,0,u_{i0},\varphi(t_i,u_{i0}),\quad \dfrac{2}{h}\biggl[\dfrac{u_{i1}-u_{i0}}{h}-\varphi(t_i,u_{i0})\biggr]\quad i=1,\dots,m \tag{4} \\ P_{ij}(u_{ij})=\dfrac{u_{ij}-u_{i-1,j}}{\tau}-F(t_i,x_j,\delta u_{ij},\Delta u_{ij}),\quad i=1,2,\dots,m,\quad j=1,\dots,n \tag{5} \\ u_{0j}=\omega_j\quad j=0,1,\dots,n;\quad u_{i,n+1}=0\quad i=1,\dots,m \tag{6} \\ \delta u_{ij}=\dfrac{1}{2h}[u_{i,j+1}-u_{i,j-1}],\quad \Delta u_{ij}=\dfrac{1}{h^2}[u_{i,j+1}-2u_{ij}+u_{i,j-1}]. \tag{7} \end{gather}

При некоторых предположениях относительно решения исходной задачи, функций $F$ и $\varphi$ при малых $\tau$ и $h$ доказано существование решения задачи (4)–(6) и приведена оценка погрешности метода. При некоторых ограничениях на шаги $h$ и $\tau$ и функции $F$ и $\varphi$ доказана разрешимость задачи (4)–(6), существование неотрицательного решения. Библ. 3 назв.