Об определителях в сетевых подгруппах

Пусть $R$ – коммутативное кольцо с 1, $\sigma=(\sigma_{ij})$ – фиксированная $D$-сеть идеалов в $R$ порядка $n$ и $G(\sigma)$ – соответствующая сетевая подгруппа в полной линейной группе $GL(n,R)$. Для $\sigma$ строится гомоморфизм $\det_\sigma$ подгруппы $G(\sigma)$ в некоторую абелеву группу $\Phi(\sigma)$. Пусть $I$ – множество индексов $\{1,\dots,n\}$. Для всякого подмножества $\alpha\subseteq I$ полагаем $\sigma(\alpha)=\sum\sigma_{ij}\sigma_{ji}$, где $i$ пробегает все индексы из $\alpha$, a $j$ – независимо все индексы из дополнения $I\backslash\alpha$ ($\sigma(I)$ – нулевой идеал). Через $\det_\alpha(a)$ обозначается главный минор порядка $|\alpha|\leqslant n$ матрицы $a\in G(\sigma)$, соответствующий индексам из $\alpha$ и через $\Phi(\sigma)$ – декартово произведение мультипликативных групп фактор-колец $R/\sigma(\alpha)$ по всем подмножеотвам $\alpha\subseteq I$. Гомоморфизм $\det_\sigma$ определяется равенством:
$$ \det_\sigma(a)=(\det_\alpha(a)\mod\sigma(\alpha))_\alpha\in\Phi(\sigma). $$
Доказывается, что если $R$ – коммутативное полулокальное кольцо Безу, то ядро $\operatorname{Ker}\det_\sigma$ совпадает с подгруппой $E(\sigma)$, порожденной всеми трансакциями из $G(\sigma)$. Для этих же $R$ определяется также $\operatorname{Im}\det_\sigma$. Библ. 3 назв.