Промежуточные скорости роста констант Лебега в двумерном случае

Рассматривается поведение при $R\to\infty$ констант Лебега
$$ L(RW)=\dfrac{1}{4\pi^2}\int^\pi_{-\pi}\int^\pi_{-\pi}\biggl|\sum_{(n,m)\in RW\cap\mathbf Z^2}e^{i(nx+my)}\biggr|\,dx\,dy, $$
где $RW$ – гомотет выпуклого компакта $W\subset\mathbf R^2$. Показано, что
а) для любого $p>2$ существует $W$, для которого
$$ C_1(\ln R)^p\leqslant L(RW)\leqslant C_2(\ln R)^p,\quad R\geqslant2; $$

б) для любых $p\in\biggl(0,\dfrac12\biggr)$ и $\alpha>1$ существует $W$, для которого
$$ C_1R^p(\ln R)^{-\alpha p}\leqslant L(RW)\leqslant C_2R^p(\ln R)^{2-2p},\quad R\geqslant2. $$
Библ. 8 назв.